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拉格朗日對偶性(拉格朗日對偶性和KKT條件)

來源:www.cy2002.cn???時間:2022-12-31 08:08???點擊:66??編輯:admin 手機版

1. 拉格朗日對偶性和KKT條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 拉格朗日乘數(shù)法kkt條件

拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優(yōu)化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分, 全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值

3. 拉格朗日對偶函數(shù)

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學家

物理學家

代表作品

《關于解數(shù)值方程》和《關于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學分析的開拓者

4. 拉格朗日乘數(shù)法與kkt條件

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法:通過設F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點求得條件極值的方法

5. 拉格朗日對偶問題和對偶問題

首先是我們有不等式約束方程,這就需要我們寫成min max的形式來得到最優(yōu)解。而這種寫成這種形式對x不能求導,所以我們需要轉換成max min的形式,這時候,x就在里面了,這樣就能對x求導了。

而為了滿足這種對偶變換成立,就需要滿足KKT條件(KKT條件是原問題與對偶問題等價的必要條件,當原問題是凸優(yōu)化問題時,變?yōu)槌湟獥l件)。

6. 拉格朗日函數(shù)的對偶性

函數(shù)需要滿足完整約束。拉格朗日函數(shù)是在力學系上只有保守力的作用,是描述整個物理系統(tǒng)的動力狀態(tài)的函數(shù)。

在分析力學里,假設已知一個系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程,稍加運算,即可求得此系統(tǒng)的運動方程。

在力學系上只有保守力的作用,則力學系及其運動條件就完全可以用拉格朗日函數(shù)表示出來。這里說的運動條件是指系統(tǒng)所受的主動力和約束。因此,給定了拉氏函數(shù)的明顯形式就等于給出了一個確定的力學系。拉氏函數(shù)是力學系的特性函數(shù)。

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