一、拉格朗日定理是柯西定理的特例關(guān)系
由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:
正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內(nèi)無渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為有渦。
二、拉格朗日定理的例題
拉格朗日定理存在于多個學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。
正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質(zhì)點的坐標位置（a、b、c），作為該質(zhì)點的標志。 如果在一個正整數(shù)的因數(shù)分解式中，沒有一個數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方，該正整數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)之和。
三、拉格朗日西爾維斯特定理
羅爾定理可知。
fa=fb時，存在某點e，使f′e=0。
開始證明拉格朗日。
假設(shè)一函數(shù)fx。
目標：證明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
假設(shè)fx來做成一個毫無意義的函數(shù)，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我們也不知道他能干啥，是我們隨便寫的一個特殊函數(shù)，我們令它等于Fx。
這個特殊函數(shù)在于，這個a和b，正好滿足Fb=Fa，且一定存在這個a和b。
此時就有羅爾定理的前提了。
于是得出有一個e，能讓F′e=0(羅爾定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求導(dǎo)等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
將唯一的x帶換成e，并且整個式子等于0。
變成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→
f′e=(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)=(fb-fa)。
擴展資料
證明過程
證明：因為函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內(nèi)某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
幾何意義
若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對應(yīng)的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行于 x 軸。
首先是式子進行整理，整理成左邊是式子，右邊是零，其次是構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造的這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要等于原來的函數(shù)，這便于用羅爾定理，其次是要找出能使用羅爾定理的最后一個條件，即兩個函數(shù)值相等，最后用羅爾定理證明必有一點導(dǎo)數(shù)值為零，即得證。
四、柯西中值定理和拉格朗日中值定理關(guān)系
前面每一個是后面的一個特例，通過前一個的定理可以證明后一個定理。 羅爾中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,反過來拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出羅爾中值定理. 泰勒中值定理是由柯西中值定理推出來的.泰勒中值定理在一階導(dǎo)數(shù)情形就是拉格朗日中值定理. 羅比達法則是柯西中值定理在求極限時應(yīng)用.
五、拉格朗日定理證明柯西中值定理
如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；
(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；
(3)對任一x∈(a，b)，F(xiàn)'(x)≠0，
那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
六、柯西定理和拉格朗日中值定理的區(qū)別
羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足： 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)； 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 其中a不等于b； 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)， 那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0. 羅爾定理的三個已知條件的直觀意義是：f(x)在[a,b]上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無縫隙的曲線；f(x)在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點處有切線存在；f(a)=f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是：在(a,b)內(nèi)至少能找到一點ξ，使f'(ξ)=0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，也就平行于x軸. 拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: (1)在[a,b]連續(xù) (2)在(a,b)可導(dǎo) 則在(a,b)中至少存在一點c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)對任一x∈(a，b)，f'(x)≠0，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'(ζ)/f'(ζ)成立?？挛骱啙嵍鴩栏竦刈C明了微積分學(xué)基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
七、拉格朗日定理是誰提出的
拉格朗日定理的意義如下：
1、拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。
2、幾何意義： 若連續(xù)曲線在 兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點 ，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。
3、運動學(xué)意義：對于曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位?？衫美窭嗜罩兄刀ɡ韺β灞剡_法則進行嚴格的證明，并研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。
八、費馬羅爾拉格朗日柯西定理
拉格朗日插值是一種多項式插值方法。是利用最小次數(shù)的多項式來構(gòu)建一條光滑的曲線，使曲線通過所有的已知點。
例如，已知如下3點的坐標:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).那么結(jié)果是:y=y1 L1+y2 L2+y3 L3,L1=(x-x2)(x-x3)/((x1-x2)(x1-x3)),L2=(x-x1)(x-x3)/((x2-x1)(x2-x3)),L3=(x-x1)(x-x2)/((x3-x1)(x3-x2)).
九、羅爾定理,拉格朗日定理與柯西定理三者之間的關(guān)系
拉格朗日定理是數(shù)學(xué)家拉格朗日提出并且證明的定理，所以它又被親切的稱為拉氏定理?？吹竭@個拉氏定理你可能就有感覺了，所謂的拉氏拉氏，不就是拉屎拉屎的諧音嗎！所以拉格朗日定理又被人親切的稱為拉屎定理了。