一、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，它反應了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。表達式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。

二、拉格朗日中值定理證明

公式，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）

定義，如果函數(shù)f(x)滿足：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點使等式成立。

三、拉格朗日中值定理例題

拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件:

(1)在[a,b]連續(xù)

(2)在(a,b)可導

則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

四、拉格朗日中值定理高中

首先,由于點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線方程是這樣的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)

所以構(gòu)造函數(shù)成兩曲線距離d與x之間的關(guān)系即可：H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)

由于兩條線的起點與終點均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.

思路：

1、拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的推廣（或者說一般情況）,而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣（或者說特殊情況）.

2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線平行于坐標軸的情況,然后求函數(shù)f(x)的極值點（等價于求f'(k)=0的點）屬于特殊情況.

而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線已經(jīng)跟x軸產(chǎn)生夾角了,所以構(gòu)造函數(shù)的時候就要把它的坐標軸轉(zhuǎn)變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數(shù)H（x）的極值點即可.

五、拉格朗日中值定理定義

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數(shù)學家在幾何研究中得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數(shù)學家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積.。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

1797年，法國數(shù)學家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函數(shù) 在 與 之間連續(xù)， 在 與 之間有最小值 與最大值 ，則 必取 與 之間的一個值?！崩窭嗜战o出最初的證明，但證明并不嚴格，他給的條件比現(xiàn)在的條件要強，他要求函數(shù) 在閉區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù) ，并且他所用的連續(xù)也是直觀的，而不是抽象的

六、拉格朗日中值定理的條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

七、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的區(qū)別

一、地位不同：　　1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，　　2、拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）?！　《缀我饬x不同：　　1、柯西中值定理幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達形式。　　2、拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。

八、拉格朗日中值定理在極限的應用

“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點；然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點；要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等，如此類推，以至無窮。結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運動永遠不可能開始的。

九、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論

在高中階段（國內(nèi)），命題的否定指的是；只否定該命題的結(jié)論，（條件不變）。而否命題指的是：否定原命題的條件和結(jié)論。

比如:“若a>0.則a+b>0”這個命題的否定是“存在 a>0, 使得a+b≤0”,否命題是“若a<=0,則a+b≤0”；

注意：命題的否定和否命題是完全不相同的，不可混淆！