1. 拉格朗日對(duì)偶函數(shù)弱對(duì)偶性證明

一．線性插值(一次插值） 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[xk ,xk+1 ]的端點(diǎn)上的函數(shù)值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個(gè)一次函數(shù)y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(diǎn)(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點(diǎn)。

首先,插值法是：利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值,作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù),在這些點(diǎn)上取已知值,在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值,這種方法稱為插值法.

其目的便就是估算出其他點(diǎn)上的函數(shù)值.

而拉格朗日插值法就是一種插值法.

2. 驗(yàn)證拉格朗日中定理對(duì)函數(shù)的正確性

由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無渦，則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時(shí)刻該部分流體有渦，則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為有渦。

3. 拉格朗日判斷函數(shù)單調(diào)性

拉格朗日法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法之一，又稱隨體法，跟蹤法。

是研究流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位置坐標(biāo)、速度、加速度等）隨時(shí)間的變化規(guī)律。綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，便得到了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

在研究波動(dòng)問題時(shí)，常用拉格朗日法

4. 證明拉格朗日基函數(shù)線性無關(guān)

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國(guó)籍

法國(guó)

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學(xué)家

物理學(xué)家

代表作品

《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學(xué)分析的開拓者

5. 拉格朗日函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)

當(dāng)求某個(gè)函數(shù)的最值，且改函數(shù)中的變量有約束時(shí)則使用拉格朗日函數(shù)

6. 拉格朗日中值定理證明函數(shù)單調(diào)性

要證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上 是增函數(shù) ，先求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，來證明導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于或等于零 。

要證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) ，就要證明這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上小于或等于零 。

7. 拉格朗日函數(shù)對(duì)偶問題

根據(jù)對(duì)偶理論，對(duì)偶問題與原問題是互為對(duì)偶問題的，且對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)恰好等于原問題最有目標(biāo)函數(shù)，并且可以證明這一目標(biāo)函數(shù)值也是最優(yōu)的，反過來同樣成立，假設(shè)對(duì)偶問題的最優(yōu)解不唯一，那么其對(duì)偶問題（也就是原問題）的最優(yōu)解也不唯一，這與原問題有唯一解矛盾。

因?yàn)樵瓎栴}與對(duì)偶問題是相互對(duì)偶的，所以他們有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在有限最優(yōu)解的方面：原問題有有限最優(yōu)解只能保證對(duì)偶問題有有有限最優(yōu)解。原問題松弛變量的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)就是對(duì)偶問題的最優(yōu)解。

對(duì)偶理論(Duality theory)研究線性規(guī)劃中原始問題與對(duì)偶問題之間關(guān)系的論。發(fā)展簡(jiǎn)在線性規(guī)劃早期發(fā)展中最重要的發(fā)現(xiàn)是對(duì)偶問題，即每一個(gè)線性規(guī)劃問題(稱為原始問題)有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)的對(duì)偶線性規(guī)劃問題（稱為對(duì)偶問題）。

8. 證明偶函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性有聯(lián)系。

關(guān)系是奇函數(shù)在對(duì)稱的定義區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性一致

偶函數(shù)在對(duì)稱的定義區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性相反。

奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性有以下關(guān)系

奇函數(shù)單調(diào)性相同

偶函數(shù)單調(diào)性相反

就是奇函數(shù)增函數(shù)就是增函數(shù)

偶函數(shù)就是增函數(shù)就是減函數(shù)。

9. 拉格朗日對(duì)偶問題一定是凸優(yōu)化

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

10. 請(qǐng)寫出支持向量機(jī)的拉格朗日對(duì)偶優(yōu)化問題的代價(jià)函數(shù)

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。

11. 拉格朗日函數(shù)的對(duì)偶性

在分析力學(xué)里，一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的 拉格朗日函數(shù)，是描述整個(gè)物理系統(tǒng)的動(dòng)力狀態(tài)的函數(shù)，對(duì)于一般經(jīng)典物理系統(tǒng)，通常定義為動(dòng)能減去勢(shì)能，以方程表示為

拉格朗日函數(shù)

拉格朗日函數(shù)

拉格朗日函數(shù)

拉格朗日函數(shù)

其中， 為拉格朗日量， 為動(dòng)能， 為勢(shì)能。

在分析力學(xué)里，假設(shè)已知一個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運(yùn)算，即可求得此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。