1. 拉格朗日型余項的n階泰勒展開式

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；

2. 帶拉格朗日余項的一階泰勒公式是到幾階導(dǎo)數(shù)

一階導(dǎo)數(shù)就是通常說的導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

三階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例：

y=x^5

一階導(dǎo)數(shù)：y′=5x^4

二階導(dǎo)數(shù)：y〃=4×5x^3=20x^3

一階導(dǎo)數(shù)表示的是函數(shù)的變化率

最直觀的表現(xiàn)就在于函數(shù)的單調(diào)性定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b)內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，那么：

（1）若在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞增；

（2）若在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞減；

（3）若在(a,b)內(nèi)f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）于x軸的直線，即在[a,b]上為常數(shù)。

3. 拉格朗日型余項的n階泰勒公式

規(guī)律：次數(shù)小的合并次數(shù)大的，即O(x^m+x^n)=O(x^m)，如果m≤n。

所以O(shè)((2x-x^2)^2)=O(4x^2-4x^3+x^4)=O(x^2)。

帶佩亞諾余項的泰勒公式可以表示為：f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)

而x0→0時，f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)

用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

擴(kuò)展資料：

將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個閉區(qū)間[a，b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間（a，b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a，b]上任意一點x，成立。

f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余項，是（x-x0）n的高階無窮小。

誤差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確。于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式。

4. 帶拉格朗日余項的n階泰勒展開式

1.帶皮亞諾余項泰勒公式的不足。

2.帶拉格朗日余項的泰勒公式。

3.對（拉格朗日余項）泰勒公式的一些說明。

4.誤差分析的一般結(jié)論（實際應(yīng)用時須具體問題具體分析）。

5.附錄：泰勒中值定理2的證明。

擴(kuò)展資料：

高等數(shù)學(xué)指相對于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。

5. 帶拉格朗日型余項的n階泰勒展開式

拉格朗日余項的泰勒公式：f'（x）=n+1。泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似表達(dá)這個函數(shù)。

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對A中的元素x施加對應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應(yīng)法則f。其中核心是對應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

6. n階泰勒公式的拉格朗日余項

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；同時： 進(jìn)而： 綜上可得：