1. 帶拉格朗日泰勒展開式

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；

2. 帶拉格朗日余項的泰勒展開式

線性插值也叫兩點插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個一次多項式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線，通過已知點A (x0, y0)，B(x1, y1)。

線性插值計算方便、應用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點，有時用簡單的曲線去近似地代替復雜的曲線，最簡單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復雜曲線的情形。

3. 拉格朗日型泰勒展開

f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^

2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函數(shù)f（x）＝√x按（x－4）的冪展開的帶有拉格朗日型余項的3階泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4

4. 含拉格朗日余項的泰勒展開式

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；同時： 進而： 綜上可得：

5. ex的拉格朗日泰勒展開式

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。

6. 特殊的泰勒展開式

被稱為管理學之父

弗雷德里克·溫斯洛·泰勒（1856年3月20日—1915年3月21日），美國著名管理學家，經(jīng)濟學家，被后世稱為“科學管理之父”。出生于費城一有名律師家庭的泰勒，從小生活富足，并接受了良好的教育。

1874年，他考入哈佛大學法律系，不久，因眼疾輟學。1875年，他進入費城恩特普里斯水壓工廠當模具工和機工學徒。1878年，他轉(zhuǎn)入費城米德維爾鋼鐵公司工作。從機械工人做起，歷任車間管理員、小組長、工長、技師等職，他在該廠一直干到1890年。

從1881年開始，他進行了一項“金屬切削試驗”，由此研究出每個金屬切削工人工作日的合理工作量。1898年，泰勒受雇于伯利恒鋼鐵公司期間，進行了著名的“搬運生鐵塊試驗”和“鐵鍬試驗”。

泰勒一生大部分的時間所關(guān)注的，就是如何提高生產(chǎn)效率。這不但要降低成本和增加利潤，而且要通過提高勞動生產(chǎn)率增加工人的工資。泰勒在親身的工作中感到了提升工作效率在工廠實踐中的重要性，并且在眾多的實踐中，創(chuàng)立了自己的管理理論——科學管理學說。泰勒的主要著作有：《計件工資制度》（1895年）、《車間管理》（1903年）、《科學管理原理》（1911年）。