1. 拉格朗日常數(shù)法求無條件極值
在數(shù)學最優(yōu)化問題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。
這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。2. 拉格朗日函數(shù)求條件極值
函數(shù)需要滿足完整約束。拉格朗日函數(shù)是在力學系上只有保守力的作用，是描述整個物理系統(tǒng)的動力狀態(tài)的函數(shù)。
在分析力學里，假設已知一個系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運算，即可求得此系統(tǒng)的運動方程。
在力學系上只有保守力的作用，則力學系及其運動條件就完全可以用拉格朗日函數(shù)表示出來。這里說的運動條件是指系統(tǒng)所受的主動力和約束。因此，給定了拉氏函數(shù)的明顯形式就等于給出了一個確定的力學系。拉氏函數(shù)是力學系的特性函數(shù)。
3. 條件極值拉格朗日函數(shù)
多元函數(shù)的極值及最大值、最小值
定義設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點，如果都適合不等式
，
則稱函數(shù)在點有極大值。如果都適合不等式
，
則稱函數(shù)在點有極小值．極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。
例1函數(shù)在點（0，0）處有極小值。因為對于點（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點，函數(shù)值都為正，而在點（0，0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因為點（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點。
例２函數(shù)在點（0，0）處有極大值。因為在點（0，0）處函數(shù)值為零，而對于點（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點，函數(shù)值都為負，點（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點。
例３ 函數(shù)在點（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負的點。
定理1（必要條件）設函數(shù)在點具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：
證不妨設在點處有極大值。依極大值的定義，在點的某鄰域內(nèi)異于的點都適合不等式
特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點，也應適合不等式
這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有
類似地可證
從幾何上看，這時如果曲面在點處有切平面，則切平面
成為平行于坐標面的平面。
仿照一元函數(shù)，凡是能使同時成立的點稱為函數(shù)的駐點，從定理1可知，具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點。但是函數(shù)的駐點不一定是極值點，例如，點（0，0）是函數(shù)的駐點，但是函數(shù)在該點并無極值。
怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？下面的定理回答了這個問題。
定理2（充分條件）設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又，令
則在處是否取得極值的條件如下：
(1)時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值；
(2)時沒有極值；
(3)時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。
這個定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：
4. 拉格朗日乘數(shù)法無條件極值
判斷是極大值還是極小值點，一個初步的方法是依靠經(jīng)驗和對問題的認識。當不能作出有效判斷時，可以求取函數(shù)的二階導數(shù)進行判斷，其實一個簡單的方法是比較該極值點的函數(shù)值與相鄰點的函數(shù)來作出判斷。
至于存在不能化為無條件極值的問題，一般是先不管約束條件建立求解極值點的方程，然后再限制在約束條件下求出最后解答，具體的過程，建議參看變分原理等數(shù)學或力學書籍，如《計算動力學》中就有提到，不過這本書不是純粹的數(shù)學推演。
5. 有條件求極值拉格朗日
拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法：通過設F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點求得條件極值的方法
6. 拉格朗日乘數(shù)法求條件極值
構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)
對函數(shù)求偏導并令其等于0
4+2ma=0
1+2mb=0
2mc=0
同時a^2+b^2+c^2=3
所以
m=根號17/2根號3
a=-4根號3/根號17
b=-根號3/根號17
4a+b=-根號51
1、是求極值的,不是求最值的
2、如果要求最值,要把極值點的函數(shù)值和不可導點的函數(shù)值還有端點函數(shù)值進行比較
3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導數(shù)確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數(shù)再看
7. 條件極值的拉格朗日乘數(shù)法
1、多元函數(shù)的條件極值與條件最值問題概述。
2、求條件極值的基礎(chǔ)題目。
3、例1的解答（求出全部可能的條件極值點）。
4、例1中極值點的判斷及評注（本題的“不等式”意義）。
5、考研試題中的條件最值問題。
6、例2的解答與評注。