一、羅爾定理與拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是特殊的柯西中值定理，柯西中值定理是廣義的拉格朗日中值定理。

二、羅爾定理拉格朗日中值定理證明題

羅爾（Rolle）中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

羅爾定理描述如下：

如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

三、羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在理論和實(shí)際中具有極高的研究價(jià)值。 幾何意義： 若連續(xù)曲線在 兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點(diǎn) ，使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行。 運(yùn)動(dòng)學(xué)意義：對于曲線運(yùn)動(dòng)在任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中至少存在一個(gè)位置（或一個(gè)時(shí)刻）的瞬時(shí)速率等于這個(gè)過程中的平均速率。 拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位?？衫美窭嗜罩兄刀ɡ韺β灞剡_(dá)法則進(jìn)行嚴(yán)格的證明，并研究泰勒公式的余項(xiàng)。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。

四、羅爾定理與拉格朗日中值定理的關(guān)系

證明：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

1羅爾定理的證明過程

證明：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2. 若 M>m，則因?yàn)?f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個(gè)在 (a,b) 內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點(diǎn)，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理，可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

2羅爾定理是什么

羅爾定理一般指羅爾中值定理。

羅爾（Rolle）中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

羅爾定理描述如下：

如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

五、羅爾定理與拉格朗日中值定理的區(qū)別

特殊到一般的關(guān)系。連續(xù)函數(shù)介值定理是引理，最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續(xù)可導(dǎo)有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理。柯西中值定理f(x)g(x)連續(xù)可導(dǎo)，gx導(dǎo)數(shù)不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設(shè)g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))

六、羅爾定理與拉格朗日中值定理的幾何意義

特殊到一般的關(guān)系。連續(xù)函數(shù)介值定理是引理，最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續(xù)可導(dǎo)有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理?？挛髦兄刀ɡ韋(x)g(x)連續(xù)可導(dǎo)，gx導(dǎo)數(shù)不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設(shè)g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))

七、羅爾定理與拉格朗日中值定理有怎樣的關(guān)系呢

羅爾中值定理的應(yīng)用

羅爾中值定理

函數(shù)y=f(x)滿足：

1、f(x)∈C[a,b];

2、f(x)∈D(a,b);

3、f(a)=f(b)。

?f(ξ)`=0，(a<ξ<b)。

應(yīng)用

1、證明方程存在唯一解；

2、證明方程有解。

步驟

證明方程存在唯一解:

1、證明方程有解；

2、證明方程只有一個(gè)解。

證明方程有解:

1、聯(lián)想羅爾中值定理的結(jié)論：f(ξ)`=0，可將需要證明的方程看作是某個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并求出原函數(shù)；

2、套用羅爾中值定理的三個(gè)條件，得出最終證明。